http://one-one.ru/forum/viewtopic.php?t=605 или тут. Уважаемые студенты!!!!!!!!!!!!
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ по курсу " ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" для потока А3 ( лектор Блошанская С.К.)
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка
1. Уравнения 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Решение, интегральная кривая. Геометрическая интерпретация решения. Общий интеграл уравнения. Примеры. 2. Задача Коши для уравнения y'=f(x,y). Существование решения задачи Коши (теорема Пеано). Примеры неединственности решения задачи Коши. 3. Существование и единственность решения задачи Коши (теорема Пикара). Условие Липшица. Примеры единственности и неединственности решений задачи Коши. 4. Полное метрическое пространство. Определение. Примеры. 5. Принцип сжимающих отображений в полном метрическом пространстве. Примеры сжимающих отображений. 6. Лемма об эквивалентности задачи Коши интегральному уравнению. 7. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара). 8. Теорема о (k+1)-кратной дифференцируемости решений задачи Коши. 9. Непрерывная зависимость решений задачи Коши от параметра. 10. Лемма Гронуолла. 11. Определение устойчивости решения. Корректность задачи Коши.
II. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
12. Пространство решений линейного однородного уравнения n-го порядка L(y)=0. Свойства решений уравнения L(y)=0. 13. Линейно зависимые и линейно независимые решения уравнения L(y)=0. Линейная независимость функций exp(k1t), exp(k2t),..., exp(knt). 14. Теорема об определителе Вронского решений уравнения L(y)=0. Необходимые и достаточные условия линейной независимости решений уравнения L(y)=0. 15. Базис пространства решений уравнения L(y)=0. Общее решение. Фундаментальная система решений. 16. Теорема о существовании ФСР уравнения L(y)=0. 17. Теорема о восстановлении уравнения по ФСР. 18. Формула Остроградского-Лиувилля. 19. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. ФСР. 20. Множество решений линейного неоднородного уравнения L(y)=g(x) как гиперплоскость в пространстве Cn (a,b). Общее решение. 21. Метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения. 22. Общее решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, с правой частью - квазимногочленом. Метод неопределенных коэффициентов.
III. Системы дифференциальных уравнений
23. Нормальная система дифференциальных уравнений, ее решения, векторная запись, геометрическая интерпретация. Задача Коши. 24. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений. 25. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка. 26. Определитель Вронского системы вектор-функций. Теорема об определителе Вронского решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений. ФСР. Существование ФСР. 27. Теорема об общем решении линейной однородной системы дифференциальных уравнений. 28. Общее решение линейной однородной системы с постоянными коэффициентами (случай, когда матрица системы имеет все различные собственные значения). IY. Вариационное исчисление 29. Линейные нормированные пространства. Пространства C [a , b ] и C^1 [a, b ], нормы и окрестности в этих пространствах. Понятие функционала. Линейность и непрерывность функционала. Примеры. 30. Первая вариация функционала. Определение, вычисление. Существование вариации у простейшего функционала. 31. Экстремум функционала, сильный и слабый экстремумы. Необходимое условие экстремума функционала. 32. Основная лемма вариационного исчисления. 33. Задача с закрепленными концами для простейшего функционала. Уравнение Эйлера. Экстремали. Частные случаи уравнения Эйлера.
